Bal Peteğindeki Matematik sırları

tarafından **Serßay** Ptsi Şub. 23, 2009 5:52 pm

* Büyük bir alanı, daha küçük parçalara en iktisatlı şekilde bölmeyi arılar nereden öğrendi?
* Altıgenin, eşkenar üçgen ve kareye nazaran avantajlı tarafları…
* Altıgen bir prizma şeklinde olan peteğin, açık ucunu kapatmak için
kullanılacak balmumunun israf edilmemesi için, nasıl bir geometri
uygulanmalıdır?

* Arıların, azamî tasarruf prensibi, geometri bilgisi ve mimarî
hususunda gösterdikleri hayretengiz davranışlarının kaynağını "içgüdü"
tabiriyle izah edebilir miyiz? Yoksa buna Sevk-i İlâhî mi demeliyiz?

Bal Peteğindeki Matematik sırları 13br2

Bal peteğinin enteresan mimarisi tarih
boyunca insanların ilgisini çekmiştir. Yan yana altıgenlerden oluşan bu
yapı, son derece hassas olup ortalama duvar kalınlıkları 0,1 mm'dir. Bu
ortalama değerden sapma ise, en fazla 0,002 mm kadardır. Peteklerin
inşasında uyulan geometri kaidelerinin ne derece ideal olduğunu
anlayabilmek için, matematikî bir bakış açısına sahip olmak gerekir.

Daire, belli bir sabit alanı çevreleyen en kısa kenar uzunluğuna sahip
geometrik şekildir. Meselâ alanı 10 cm2 olan kare ve dairenin çevre
uzunlukları karşılaştırıldığında, dairenin çevresinin daha kısa olduğu
görülür. Ancak bal peteğinin inşasında durum tam olarak böyle değildir.
Burada bal peteğinin geniş çerçevesi, eşit ve daha küçük alanlara
bölünecektir ve bölme işleminde en az çevre uzunluğuna sahip şekil
kullanılacaktır. Çerçeveyi, eşit alanlara sahip küçük daireler
şeklindeki peteklere bölmek istersek, yukarıda ifade edildiği gibi en
kısa kenar özelliği sağlanacak, fakat dairelerin kenarları arasında
kalan boşluklar için daha fazla mum harcanmış olacaktır.

Halbuki bu problemi, en kısa kenar uzunluğu ve en az malzemeyle (mum)
çözmek için geometri prensiplerine müracaat ettiğimizde, peteklerin
bölünmesinde çokgenlerin kullanılması gerektiği görülecektir. Kenar
sayısı n olan aynı alana sahip çokgenler düşünelim. Bunların içerisinde
en kısa çevre uzunluğuna sahip olanı düzgün n-gendir. Düzgün ile
kastedilen, bütün kenarları ve iç açıları eşit olandır. Bu tip bir
çokgen, her zaman bir dairenin içine çizilebilir ve çokgenin köşeleri
çemberin çevresi üzerindedir. Böyle bir yapının ideal daire şekline
yakın olmasından dolayı çevre uzunluğu en az olmaktadır. Meselâ eşit
alanlı üçgenler içerisinde en kısa çevre uzunluğu eşkenar üçgende,
dörtgenler arasında en kısa çevre uzunluğu ise karede elde edilir.
Benzer şekilde beşgen ve altıgenler kendi aralarında kıyaslanırsa, en
kısa çevre uzunluğu düzgün beşgen ve altıgende elde edilebilir.

Akla gelebilecek ilk soru, belli bir alanı bölerken hangi düzgün
çokgeni kullanmamız gerektiğidir. Bir daire ve içerisine çizilmiş n
kenarlı bir düzgün çokgenin bir kısmı Şekil 1'de gösterilmiştir.
Şekilden de görülebileceği gibi çokgenin bir iç açısı 180-360/n
derecedir. Verilen bir geniş alanı küçük alanlara bölmek istediğimizde,
komşu çokgenlerin birbirlerine tam oturması ve aralarında boşluk
kalmaması gerekir. Bunun olabilmesi için birbirine yaslanan komşu
çokgen köşelerine ait iç açıları toplamı 360 derece olmalıdır (Şekil
2). Başka bir ifadeyle bir iç açının tam sayı bir katı 360 derece
olmalıdır. N komşu iç açıların adedini temsil etmek üzere, bu durumda
aşağıdaki denklemi yazabiliriz (N tamsayıdır):

N (180 - 360 / n ) = 360
Buradan N çözülürse
N = 2n / (n-2)= 2 + 4 / (n-2)
ifadesi elde edilir. Bulmak istediğimiz, hangi kenar sayısı n için, N
değeri tamsayı olmaktadır. Tamsayı değerleri, sadece n=3, 4 ve 6 için
elde edebiliriz ve 6'dan büyük hiçbir rakam için tamsayı elde edilemez.
Yani bir alanı boşluksuz bölmek istersek, ya üçgen, ya dörtgen veya
altıgen kullanmalıyız. Kenar sayısı 6'dan fazla olan düzgün bir çokgen
ile boşluksuz bölme mümkün değildir. Benzer şekilde düzgün beşgenler de
uygun bir çözüm değildir. Şekil 3'te üç düzgün beşgenin yan yana
getirilmesi ile 36O açılı boş bir alan ortaya çıkmıştır. Halbuki
altıgenler boşluksuz yan yana getirilebilirler (Şekil 4). Ayrıca eşit
alanlı üçgen, dörtgen ve altıgen birbiri ile karşılaştırıldığında, en
az çizgi uzunluğu altıgende olmaktadır. Dolayısı ile en az balmumu
sarfiyatı bu şekilde bölme kullanılarak elde edilebilir.

Matematikçiler ayrıca, kenarları doğru olmayan, eğri olan çokgenlerin
daha iyi olup olmadığını da araştırdılar. Kenar eğri olunca, bir
çokgende dışbükey şekil elde edilirken komşu çokgende ister istemez
içbükey şekil elde edilmektedir. Dışbükey eğri ile elde edilen avantajı
(daire parçasına daha fazla benzemesinden dolayı) içbükey eğriden gelen
daha fazla dezavantaj yok etmekte ve net olarak bir kazanç elde
edilememektedir. Michigan Üniversitesi’nden Thomas Hales 1999'da
tartışmalara son noktayı koydu ve bir alanı eşit küçük alanlara ayırmak
istediğimizde, en ideal şeklin düzgün altıgen olduğunu ispatladı. Her
ne kadar altıgen şeklin, ideal bir şekil olduğu uzun zamandır
belirtilse de, bunun sağlam bir matematik ispatı yapılamamıştı. 1999'da
ispatını ancak yapabildiğimiz bir çözümü, arıların milyonlarca yıldır
şaşırmadan Sevk-i İlâhî ile uygulamaları, Allah'ın ilhâmından başka ne
olabilir ki... Şâyet arıların petek inşa teknikleri ilk yaratıldıkları
dönemden bu yana evrimleşerek gelseydi, fosil kayıtlarında, altıgen
dışında başka geometrik şekillere de rastlanması gerekirdi. Halbuki
başka bir şekildeki bal peteğinin kullanıldığına dâir ipucuna
rastlanmamıştır. Bizzat Charles Darwin bal peteğini, işçilik ve
balmumunu mükemmel ekonomize eden bir mühendislik harikası olarak
tanımlamıştır.

Şimdiye kadar probleme iki boyutlu baktık. Ancak bal peteği üç boyutlu
bir cisim olup altıgen prizma şeklindedir. Altıgen prizma şeklindeki
petekler iki tabaka hâlinde olup, bir uçları açık, diğer kapalı uçları
ise sırt sırta yerleştirilmiştir (Şekil 5). Çerçeve yere dik gelecek
şekilde yerleştirildiğinde, prizmalar yatay ile 13O’lik bir eğim açısı
yapacak şekilde inşa edilmiş olurlar ve bu açı balın akmaması için
yeterli olan en küçük açıdır. Acaba peteğin kapalı ucunda en az balmumu
sarfiyatı için nasıl bir geometri olmalıdır? 1964'te matematikçi Fejes
Toth, en ideal kapatmanın iki altıgen ve iki kare ile sağlanabileceğini
gösterdi (Şekil 6a). Arılar ise biraz farklı olarak üç eşkenar
dörtgenle kapatma yapmaktaydılar (Şekil 6b). Eşkenar dörtgenlerin iç
açıları 70,5O ve 109,5O olup, üç eşkenar dörtgen çatısı şekli için en
ideal matematik çözümü vermektedir. Görünüşte arıların uygulamasında
iki altıgen ve iki kareye göre alanda % 0,035'lik çok küçük bir kayıp
olmaktaydı. Ancak gözden kaçırılan bir nokta vardı, o da hesaplamalarda
duvar kalınlığı son derece ince alınıyordu.

Araştırmacılar, Toth'un matematik modelini tecrübe etmek üzere sıvı
hava köpüğü kullandılar. İki cam arasına, iki tabaka olacak şekilde 2
mm çaplı kabarcıklara sahip deterjan çözeltisi pompaladılar. Camlarla
temas eden kabarcıklar altıgen yapılara dönüştü. Ortada iki tabakanın
sınırında ise Toth'un öne sürdüğü iki altıgen ve iki kare şeklindeki
yapı oluştu. Kabarcık duvarları biraz kalınlaştırıldığında ise,
enteresan bir durum ortaya çıktı ve yapı birden arılarda olduğu gibi üç
eşkenar dörtgen yapısına dönüştü. Deney, arılara en ideal şeklin ilham
edildiğini teyit etmekteydi.

Kutlu Beyan’da bal arısının davranışlarına da yer verilmektedir:
"Rabb’in bal arısına şöyle vahyetti: Dağlardan ağaçlardan ve insanların
kurdukları çardaklardan kendine göz göz ev edin. Sonra da her türlü
üründen ye de, Rabb’inin sana yayılman için belirlediği yolları tut.
Onların karınlarından renkleri çeşit çeşit bir şerbet çıkar ki onda
insanlara şifa vardır. Elbette düşünen kimseler için bunda alacak ibret
vardır." (Nahl, 68, 69) .

tarafından mat_-_rock Salı Şub. 24, 2009 5:52 pm

vayy bee.. baksana.heralde arıların çalışkan olmalarıda burdan geliıo :P:

Ptsi	Salı	Çarş.	Perş.	Cuma	C.tesi	Paz
				1	2	3
4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17
18	19	20	21	22	23	24
25	26	27	28	29	30

Bal Peteğindeki Matematik sırları

Bal Peteğindeki Matematik sırları

Geri: Bal Peteğindeki Matematik sırları