Hoşgeldiniz...
Mesaj Sayın 0
Son Ziyaretin Perş. Ocak 01, 1970
İyi Forumlar...
Giriş yap
En son konular
Arama
Mayıs 2024
Ptsi | Salı | Çarş. | Perş. | Cuma | C.tesi | Paz |
---|---|---|---|---|---|---|
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | ||
6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 |
20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 |
27 | 28 | 29 | 30 | 31 |
En iyi yollayıcılar
Serßay (492) | ||||
mat_-_rock (316) | ||||
GüL_GüZeLi (265) | ||||
Elif Lâm Râ (86) | ||||
emRahhh (68) | ||||
VaLe (45) | ||||
ciRcuS (31) | ||||
nacves (27) | ||||
kiiko (17) | ||||
hakanberk (5) |
İntegral
1 sayfadaki 1 sayfası
İntegral
İNTEGRAL
( ſ : İntegral işareti )
Türevi belli olan bir fonksiyonu bulmak için yaptığımız işleme integral alma veya ilkel fonksiyonu denir.
BELİRSİZ İNTEGRAL
TANIM: f :[a, b] R, F : [a, b] R tanımlı ve türevlenebilir iki fonksiyon olsun.
Her x Є (a, b) için, F’(x) = f(x) ise F(x) fonksiyonuna f(x)
fonksiyonunun ilkeli veya belirsiz integrali denir. Bunu, C Є R olmak
üzere,
F’(x) = f(x) ſ f(x) dx = F(x)+C
Biçiminde gösterilir. ſ f(x) dx ifadesini, “integral f(x) dx” diye okuruz.
Kısaca, ſ f(x) dx demek, türevi f(x) olan F(x) fonksiyonunu bulmak demektir.
ſ f(x) dx = F(x)+C ifadesindeki;
- f(x) fonksiyonuna integrand,
- F(x) fonksiyonunun bulunması işlemine integrasyon işlemi,
- C reel sayısına da integrasyon sabiti denir. Bir fonksiyonda, sabit
terimin türevi sıfır olduğundan, integral alınırken bu sabit terimi
bilemeyiz.
- ſ f(x) dx ifadesindeki dx ise, integrasyonyn değişkeninin x olduğunu belirtir.
TEOREM: Bir fonksiyonun diferansiyelinin integrali, bu fonksiyona sabit eklenerek bulunur.
ſ d( f(x) ) = f(x)+C dir.
TEOREM: Bir fonksiyonun bir sabitle çarpımının integrali, o fonksiyonun integralinin sabitle çarpımına eşittir.
Yani, integral içindeki sabit çarpan, integral dışına alınabilir.
Her a Є R için, ſ a . f(x) dx = a . ſ f(x) dx dir.
TEOREM: İki fonksiyonun veya farkının integrali, bu fonksiyonların integrallerinin topl***** veya farkına eşittir.
ſ[f(x) + g(x)] dx = ſ f(x) dx + ſ g(x) dx ,
ſ[f(x) - g(x)] dx = ſ f(x) dx - ſg(x) dx tir.
TEMEL İNTEGRAL ALMA FORMÜLLERİ
1) ſ a dx = ax + C , (a Є R )
2) ſ xⁿ dx = (xⁿ ¹/n+1) + C , (n = -1)
3) ſ ( 1/x) dx = ln |x| +C
4) ſ eª da = eª + C
5) ſ eª da = (eª / ln e) + C , (a Є R’ –{1})
6) ſ sinx dx = -cosx + C
7) ſ cosx dx = -sinx + C
ſ (1 / cos²x) dx = ſ(1+tan²x) dx =ſsec²x dx = tanx + C
9) ſ (1 / sin²x) dx = ſ (1+cot²x) dx = ſcosec²x dx = -cotx + C
10) ſ (1 / 1 - x² ) dx = arc sinx + C = -arc cosx + C
11) ſ( 1 / 1+x² ) dx = arc tanx + C = -arc cotx + C
Yukarıdaki eşitliklerin doğruluğunu gösterebilmek için, sağ taraftaki
fonksiyonların türevlerini alarak, integrali alınan fonksiyonu elde
ederiz.
İNTEGRAL ALMA YÖNTEMLERİ
İntegrali alınacak fonksiyonun, hangi fonksiyonun türevi olduğunu
görmek, her zaman pek mümkün olmaz. Bunun için, bazı integral alma
yöntemleri oluşturulmuştur.
1. DEĞİŞKEN DEĞİŞTİRME YÖNTEMİ
f, g, fog ve g’ fonksiyonları, bir [a, b] aralığında sürekli fonksiyonlar olsun
ſ f(g(x)).g’(x) dx
biçimindeki integralleri hesaplamak için, u = g(x) dönüşümü yapılır ve
her iki tarafın diferansiyeli alınırsa, du = g’(x) dx elde edilir. Bu
durumda integral,
ſf(g)).g’(x) = ſ f(u) du
biçimine dönüşür. ſ f(u) du ifadesinin, u değişkenine göre integrali
alındıktan sonra, u yerine g(x) yazılarak, sonuç x değişkenine göre
bulunmuş olur.
* ſ [f(x)]ⁿ . f’8x) dx ifadesinde olduğu gibi, kuvveti alınan
fonksiyonun türevini aldığımızda, yanındaki çarpanı elde edebiliyorsak,
bu ifadenin integralini kısaca;
ſ[f(x)]ⁿ . f’(x) dx = {[f(x)]ⁿ´¹ / n+1} + C (n = -1)
biçiminde alabiliriz.
LOGARİTMİK VE ÜSTEL İNTEGRAL ALMA KURALLARI:
1. ſ {f´(x) / f (x) = ln |f (x)| + C
2. ſ eª . f´(x) dx = eª + C ( a = f(x))
3. ſ eª . f´(x) dx = {eª / ln e} + C (a = f(x))
Bu eşitliklerin, sağ tarafındaki ifadelerin türevlari alındığında, integrali alınacak ifade elde edilir.
BAZI TRİGONOMETRİK İFADELERİN İNTEGRALLERİ
1. ſ sin(f(x)) . f´(x) dx = -cos f(x) + C
2. ſ cos (f(x)) . f’(x) dx = sin f(x) + C
3. ſ{f’(x) / cos²f(x)} dx = tan f(x) + C
4. ſ{f’(x) / sin²f(x)} dx = -cot f(x) + C
5. ſsin(ax + b) dx = (-1 / a) cos(ax + b) + C (a = 0)
6. ſcos(ax + b) dx = (1 / a) sin(ax + b) + C (a = 0)
7. ſ{dx / cos²(ax + b) dx = (1 / a) tan (ax + b) + C (a = 0)
8. ſ{dx / sin²(ax + b) dx = (-1 / a) cot (ax + b) + C (a = 0)
9. ſcot (ax + b) dx = ſ{cos (ax + b) / sin (ax + b) dx = (1 / a) ln |sin(ax + b)| + C
Yukarıdaki eşitliklerde, sağ taraftaki fonksiyonların türevlvri alındığında, integrali alınan fonksiyon elde edilir.
2 KISMİ (PARÇALI) İNTEGRASYON YÖNTEMİ
İki fonksiyonun çarpımının integralinin hesaplanmasında genelde, kısmi integrasyon yöntemi kullanılır.
u ve v fonksiyonları, bir (a,b) aralığında türevlene bilen fonksiyonlar ise, u, v fonksiyonu da (a, b) aralığında türevlidir.
{(d / dx)(u . v)} = {(du v / dx) + (dv u / dx) olduğundan,
d(u . v) = v du + u dv ve
u dv = d(u . v) – v du olur.
Bu eşitliğin her iki yanının integralini alırsak;
ſ u dv = u . v - ſ v du olur.
Bu yöntemle integral almaya, kısmi integrasyon yöntemi denir.
3 BASİT KESİRLERE AYIRMA YÖNTEMİYLE İNTEGRAL ALMA
P(x) ve Q(x) birer polinom olmak üzere, {P(x) / Q(x)}, (Q(x) = 0)
biçimindeki fonksiyonlar, rasyonel fonksiyonlardır. Basit kesirlerine
ayrılabilen rasyonel fonksiyonların integralleri şu şekilde bulunur:
a, b, c, A, B Є R ve n Є N olsun. (A / (ax + b)ⁿ) ve Δ< 0 olmak üzere,
{Ax + B / (ax² + bx + c)ⁿ biçimindeki ifadelere basit kesir denir.
{P(x) / Q(x)}rasyonel ifadesi, basit kesirlerin tplamı biçiminde
yazılabiliyorsa, yapılan işleme; basit kesirlere ayırma denir.
Rasyonel ifadelerin integralinin hesaplanmasında 2 yöntem vardır.
A. P(x) in Derecesi, Q(x) in Derecesinden Küçük ise
Bu durumda, aşağıdaki yollar izlenir:
a) {P(x) / Q(x)) rasyonel ifadesinin paydası olan Q(x),
Q(x) = (a x + b )(a x + b)…(a x + b) biçiminde r tane çarpandan oluşuyorsa, bu ifade:
{P(x) / Q(x)} = {A / a x + b} + {A / a x + b}+….+{A / a x +b} şeklinde
basit kesirlerin toplamı olarak yazılır. Polinomların eşitliğinden
yararlanılarak; A , A , ….., A değerleri bulunur ve sonrada integral
alınır.
B. P(x) in Derecesi, Q(x) in Derecesinden büyük veya eşit ise
Bu durumda, P(x) polinomu Q(x) polinomuna bölünür. P(x) in Q(x) e bölünmesinden bulunan bölüm B(x) ve kalan K(x) ise,
{P(x) / Q(x)} = B(x) + {K(x) / Q(x)} biçiminde yazılır ve bu ifadenin integrali alınınr.
TRİGONOMETRİK ÖZDEŞLİKLER YARDIMIYLA İNTEGRAL ALMA
Bazı trigonometrik ifadelerin integralleri alınırken, ayşağıda verilen trigonometrik özdeşliklerden yararlanılır.
1. sin²x +cos²x = 1 sin²x = 1 -cos²x veya cos²x = 1 -sin²x tir.
2. sin2x = 2sinx . cosx sinx . cosx = (sin2x / 2) dir.
3. cos2x = cos²x – sin²x veya cos2x = 2cos²x – 1 cos²x = {1+cos2x / 2} veya
cos2x = 1 – 2sin²x sin²x = {1 – cos2x / 2 } dir.
n Tek Doğal Sayı ise ſ sinⁿx dx veya ſ cosⁿx dx Biçiminde Verilen İntegralleri Hesaplama
ſ sinⁿ dx = ſ sinⁿ־¹x .sinx dx veya ſ cosⁿ dx = ſ cosⁿ־¹x .cosx dx
biçiminde yazılır. Daha sonra, sin²x = 1 - cos²x veya cos²x = sin²x
özdeşlikleri yazılarak integral alınır.
n Çift Doğal Sayı ise ſsinⁿ dx veya ſ cosⁿx dx Biçiminde Verilen İntegrallerin Hesaplanması
ſsinⁿx dx = ſ(sin²x)ⁿ´² dx veya ſcosⁿx dx = ſ(cos²x)ⁿ´² dx yazılır.
Daha sonra, sin²x = (1 – cos2x / 2) veya cos²x = (1 + cos2x / 2) özdeşlikleri yazılarak integrali alınır
( ſ : İntegral işareti )
Türevi belli olan bir fonksiyonu bulmak için yaptığımız işleme integral alma veya ilkel fonksiyonu denir.
BELİRSİZ İNTEGRAL
TANIM: f :[a, b] R, F : [a, b] R tanımlı ve türevlenebilir iki fonksiyon olsun.
Her x Є (a, b) için, F’(x) = f(x) ise F(x) fonksiyonuna f(x)
fonksiyonunun ilkeli veya belirsiz integrali denir. Bunu, C Є R olmak
üzere,
F’(x) = f(x) ſ f(x) dx = F(x)+C
Biçiminde gösterilir. ſ f(x) dx ifadesini, “integral f(x) dx” diye okuruz.
Kısaca, ſ f(x) dx demek, türevi f(x) olan F(x) fonksiyonunu bulmak demektir.
ſ f(x) dx = F(x)+C ifadesindeki;
- f(x) fonksiyonuna integrand,
- F(x) fonksiyonunun bulunması işlemine integrasyon işlemi,
- C reel sayısına da integrasyon sabiti denir. Bir fonksiyonda, sabit
terimin türevi sıfır olduğundan, integral alınırken bu sabit terimi
bilemeyiz.
- ſ f(x) dx ifadesindeki dx ise, integrasyonyn değişkeninin x olduğunu belirtir.
TEOREM: Bir fonksiyonun diferansiyelinin integrali, bu fonksiyona sabit eklenerek bulunur.
ſ d( f(x) ) = f(x)+C dir.
TEOREM: Bir fonksiyonun bir sabitle çarpımının integrali, o fonksiyonun integralinin sabitle çarpımına eşittir.
Yani, integral içindeki sabit çarpan, integral dışına alınabilir.
Her a Є R için, ſ a . f(x) dx = a . ſ f(x) dx dir.
TEOREM: İki fonksiyonun veya farkının integrali, bu fonksiyonların integrallerinin topl***** veya farkına eşittir.
ſ[f(x) + g(x)] dx = ſ f(x) dx + ſ g(x) dx ,
ſ[f(x) - g(x)] dx = ſ f(x) dx - ſg(x) dx tir.
TEMEL İNTEGRAL ALMA FORMÜLLERİ
1) ſ a dx = ax + C , (a Є R )
2) ſ xⁿ dx = (xⁿ ¹/n+1) + C , (n = -1)
3) ſ ( 1/x) dx = ln |x| +C
4) ſ eª da = eª + C
5) ſ eª da = (eª / ln e) + C , (a Є R’ –{1})
6) ſ sinx dx = -cosx + C
7) ſ cosx dx = -sinx + C
ſ (1 / cos²x) dx = ſ(1+tan²x) dx =ſsec²x dx = tanx + C
9) ſ (1 / sin²x) dx = ſ (1+cot²x) dx = ſcosec²x dx = -cotx + C
10) ſ (1 / 1 - x² ) dx = arc sinx + C = -arc cosx + C
11) ſ( 1 / 1+x² ) dx = arc tanx + C = -arc cotx + C
Yukarıdaki eşitliklerin doğruluğunu gösterebilmek için, sağ taraftaki
fonksiyonların türevlerini alarak, integrali alınan fonksiyonu elde
ederiz.
İNTEGRAL ALMA YÖNTEMLERİ
İntegrali alınacak fonksiyonun, hangi fonksiyonun türevi olduğunu
görmek, her zaman pek mümkün olmaz. Bunun için, bazı integral alma
yöntemleri oluşturulmuştur.
1. DEĞİŞKEN DEĞİŞTİRME YÖNTEMİ
f, g, fog ve g’ fonksiyonları, bir [a, b] aralığında sürekli fonksiyonlar olsun
ſ f(g(x)).g’(x) dx
biçimindeki integralleri hesaplamak için, u = g(x) dönüşümü yapılır ve
her iki tarafın diferansiyeli alınırsa, du = g’(x) dx elde edilir. Bu
durumda integral,
ſf(g)).g’(x) = ſ f(u) du
biçimine dönüşür. ſ f(u) du ifadesinin, u değişkenine göre integrali
alındıktan sonra, u yerine g(x) yazılarak, sonuç x değişkenine göre
bulunmuş olur.
* ſ [f(x)]ⁿ . f’8x) dx ifadesinde olduğu gibi, kuvveti alınan
fonksiyonun türevini aldığımızda, yanındaki çarpanı elde edebiliyorsak,
bu ifadenin integralini kısaca;
ſ[f(x)]ⁿ . f’(x) dx = {[f(x)]ⁿ´¹ / n+1} + C (n = -1)
biçiminde alabiliriz.
LOGARİTMİK VE ÜSTEL İNTEGRAL ALMA KURALLARI:
1. ſ {f´(x) / f (x) = ln |f (x)| + C
2. ſ eª . f´(x) dx = eª + C ( a = f(x))
3. ſ eª . f´(x) dx = {eª / ln e} + C (a = f(x))
Bu eşitliklerin, sağ tarafındaki ifadelerin türevlari alındığında, integrali alınacak ifade elde edilir.
BAZI TRİGONOMETRİK İFADELERİN İNTEGRALLERİ
1. ſ sin(f(x)) . f´(x) dx = -cos f(x) + C
2. ſ cos (f(x)) . f’(x) dx = sin f(x) + C
3. ſ{f’(x) / cos²f(x)} dx = tan f(x) + C
4. ſ{f’(x) / sin²f(x)} dx = -cot f(x) + C
5. ſsin(ax + b) dx = (-1 / a) cos(ax + b) + C (a = 0)
6. ſcos(ax + b) dx = (1 / a) sin(ax + b) + C (a = 0)
7. ſ{dx / cos²(ax + b) dx = (1 / a) tan (ax + b) + C (a = 0)
8. ſ{dx / sin²(ax + b) dx = (-1 / a) cot (ax + b) + C (a = 0)
9. ſcot (ax + b) dx = ſ{cos (ax + b) / sin (ax + b) dx = (1 / a) ln |sin(ax + b)| + C
Yukarıdaki eşitliklerde, sağ taraftaki fonksiyonların türevlvri alındığında, integrali alınan fonksiyon elde edilir.
2 KISMİ (PARÇALI) İNTEGRASYON YÖNTEMİ
İki fonksiyonun çarpımının integralinin hesaplanmasında genelde, kısmi integrasyon yöntemi kullanılır.
u ve v fonksiyonları, bir (a,b) aralığında türevlene bilen fonksiyonlar ise, u, v fonksiyonu da (a, b) aralığında türevlidir.
{(d / dx)(u . v)} = {(du v / dx) + (dv u / dx) olduğundan,
d(u . v) = v du + u dv ve
u dv = d(u . v) – v du olur.
Bu eşitliğin her iki yanının integralini alırsak;
ſ u dv = u . v - ſ v du olur.
Bu yöntemle integral almaya, kısmi integrasyon yöntemi denir.
3 BASİT KESİRLERE AYIRMA YÖNTEMİYLE İNTEGRAL ALMA
P(x) ve Q(x) birer polinom olmak üzere, {P(x) / Q(x)}, (Q(x) = 0)
biçimindeki fonksiyonlar, rasyonel fonksiyonlardır. Basit kesirlerine
ayrılabilen rasyonel fonksiyonların integralleri şu şekilde bulunur:
a, b, c, A, B Є R ve n Є N olsun. (A / (ax + b)ⁿ) ve Δ< 0 olmak üzere,
{Ax + B / (ax² + bx + c)ⁿ biçimindeki ifadelere basit kesir denir.
{P(x) / Q(x)}rasyonel ifadesi, basit kesirlerin tplamı biçiminde
yazılabiliyorsa, yapılan işleme; basit kesirlere ayırma denir.
Rasyonel ifadelerin integralinin hesaplanmasında 2 yöntem vardır.
A. P(x) in Derecesi, Q(x) in Derecesinden Küçük ise
Bu durumda, aşağıdaki yollar izlenir:
a) {P(x) / Q(x)) rasyonel ifadesinin paydası olan Q(x),
Q(x) = (a x + b )(a x + b)…(a x + b) biçiminde r tane çarpandan oluşuyorsa, bu ifade:
{P(x) / Q(x)} = {A / a x + b} + {A / a x + b}+….+{A / a x +b} şeklinde
basit kesirlerin toplamı olarak yazılır. Polinomların eşitliğinden
yararlanılarak; A , A , ….., A değerleri bulunur ve sonrada integral
alınır.
B. P(x) in Derecesi, Q(x) in Derecesinden büyük veya eşit ise
Bu durumda, P(x) polinomu Q(x) polinomuna bölünür. P(x) in Q(x) e bölünmesinden bulunan bölüm B(x) ve kalan K(x) ise,
{P(x) / Q(x)} = B(x) + {K(x) / Q(x)} biçiminde yazılır ve bu ifadenin integrali alınınr.
TRİGONOMETRİK ÖZDEŞLİKLER YARDIMIYLA İNTEGRAL ALMA
Bazı trigonometrik ifadelerin integralleri alınırken, ayşağıda verilen trigonometrik özdeşliklerden yararlanılır.
1. sin²x +cos²x = 1 sin²x = 1 -cos²x veya cos²x = 1 -sin²x tir.
2. sin2x = 2sinx . cosx sinx . cosx = (sin2x / 2) dir.
3. cos2x = cos²x – sin²x veya cos2x = 2cos²x – 1 cos²x = {1+cos2x / 2} veya
cos2x = 1 – 2sin²x sin²x = {1 – cos2x / 2 } dir.
n Tek Doğal Sayı ise ſ sinⁿx dx veya ſ cosⁿx dx Biçiminde Verilen İntegralleri Hesaplama
ſ sinⁿ dx = ſ sinⁿ־¹x .sinx dx veya ſ cosⁿ dx = ſ cosⁿ־¹x .cosx dx
biçiminde yazılır. Daha sonra, sin²x = 1 - cos²x veya cos²x = sin²x
özdeşlikleri yazılarak integral alınır.
n Çift Doğal Sayı ise ſsinⁿ dx veya ſ cosⁿx dx Biçiminde Verilen İntegrallerin Hesaplanması
ſsinⁿx dx = ſ(sin²x)ⁿ´² dx veya ſcosⁿx dx = ſ(cos²x)ⁿ´² dx yazılır.
Daha sonra, sin²x = (1 – cos2x / 2) veya cos²x = (1 + cos2x / 2) özdeşlikleri yazılarak integrali alınır
Serßay- Admin
-
Mesaj Sayısı : 492
Yaş : 33
Şehir : Mersin
Hobiler : Edebiyat
Ruh Hali :
Kayıt tarihi : 27/01/09
Rep Sistemi
Aktiflik:
(100/100)
Başarı Puanı :
(100/100)
Güçlülük:
(100/100)
1 sayfadaki 1 sayfası
Bu forumun müsaadesi var:
Bu forumdaki mesajlara cevap veremezsiniz
C.tesi Tem. 10, 2010 9:40 am tarafından Serßay
» Klayyeye Bakmadan Bunu Yazabilir Misiniz
C.tesi Tem. 10, 2010 8:54 am tarafından hakanberk
» Okuyabiliyor musunuz?
C.tesi Tem. 10, 2010 8:51 am tarafından hakanberk
» ---ünivERsİtELer---
C.tesi Tem. 10, 2010 8:45 am tarafından hakanberk
» Konuğumuz GüL_GüZeLi
C.tesi Tem. 10, 2010 8:38 am tarafından hakanberk
» Neden Cemal Süreyya değil de Cemal Süreya
C.tesi Tem. 03, 2010 2:04 pm tarafından Serßay
» Sitenin EnLeri
Çarş. Haz. 30, 2010 8:21 pm tarafından nacves
» Gelsin qelsin kim qelsin?
Çarş. Haz. 30, 2010 8:19 pm tarafından nacves
» 4 kelime 1 cümle
Çarş. Haz. 30, 2010 8:16 pm tarafından nacves
» Yer misin Yemez misin?
Çarş. Haz. 30, 2010 8:12 pm tarafından nacves
» 2010 ÖSS Sistemi (YGS / LYS)
Cuma Ekim 02, 2009 4:21 pm tarafından Serßay
» Ayı EfkarLanmış :)
Cuma Tem. 17, 2009 8:42 pm tarafından Serßay
» NBA Live 2003 Oyun Hileleri
Cuma Tem. 17, 2009 8:40 pm tarafından Serßay
» Trials 2 Second Edition - Full
Salı Tem. 14, 2009 9:00 pm tarafından VaLe
» NBA Live 2003 - Full
Ptsi Tem. 13, 2009 2:46 pm tarafından VaLe
» Knights of Honor Oyun Hileleri
Ptsi Tem. 13, 2009 2:37 pm tarafından VaLe
» Knights of Honor - Full
Ptsi Tem. 13, 2009 2:35 pm tarafından VaLe
» Gemimiz Batıyor...
Ptsi Tem. 13, 2009 2:04 pm tarafından Serßay
» Konuğumuz VaLe
Ptsi Tem. 13, 2009 1:50 pm tarafından VaLe
» 5 yaşında anne olmuşş
Ptsi Tem. 06, 2009 7:14 pm tarafından GüL_GüZeLi
» Özlem Mesajları
Ptsi Tem. 06, 2009 2:12 pm tarafından GüL_GüZeLi
» EN TUHAF fobiler
Ptsi Tem. 06, 2009 12:06 pm tarafından GüL_GüZeLi
» Kolbastı!!!
Ptsi Tem. 06, 2009 11:57 am tarafından Serßay
» Niye yoLdun Len xD
Ptsi Tem. 06, 2009 11:39 am tarafından GüL_GüZeLi
» aşka bak beah:))))
Ptsi Tem. 06, 2009 11:35 am tarafından GüL_GüZeLi
» Aşka Sesleniş...
Perş. Tem. 02, 2009 11:40 am tarafından GüL_GüZeLi
» Sözü Bendim.. Notası Sen..
Çarş. Tem. 01, 2009 4:23 pm tarafından GüL_GüZeLi
» Büyük Mükafat
Çarş. Tem. 01, 2009 2:51 pm tarafından GüL_GüZeLi
» Ne güzeldir birine ‘ İyi ki Varsın’ Diyebilmek
Çarş. Tem. 01, 2009 1:56 pm tarafından GüL_GüZeLi
» Şok! Rep sistemi artık aktiftir
Çarş. Tem. 01, 2009 1:50 pm tarafından GüL_GüZeLi